Description

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Ce cours est une introduction un chapitre important et relativement r cent de l'analyse Math matique: la th orie de distributions. Cette th orie fut cr e par Laurent Schwartz entre 1944 et 1950 et elle a permis son auteur de recevoir la m daille Fields ( quivalent du prix Nobel pour les math matiques) en 1950. Nous allons galement donner quelques applications de la th orie de distributions aux quations de la physique math matique. Ces quations ont constitu l'une de motivations principales de d veloppement de la th orie de Laurent Schwartz. Malheureusement les cours qui sont notre disposition ne nous permettent pas d'avancer d'une fa on significative dans l' tude des quations de la physique math matique (ou quations aux d riv es partielles). Nous nous contenterons donc de calculer les solutions fondamentales de quelques op rateurs diff rentiels et d' tudier une classe d'espace de distributions qui intervient d'une mani re essentielle dans la th orie moderne des quations aux d riv es partielles: les espaces de Sobolev. L'utilisation syst matique de ces notions dans l' tude fine d' quations aux d riv es partielles fera l'objet d'un cours sp cialis . Comme la plupart de grandes th ories scientifiques, la th orie de distributions est construite sur des bases provenant de travaux effectu's par de nombreux chercheurs. D crivons bri vement, en suivant l'introduction de la monographie et le livre de m moires de Laurent Schwartz, l'influence du calcul symbolique de Heaviside et de la th orie de solutions faibles des quations aux d riv es partielles (th orie due Leray et Sobolev).Le chapitre 2, porte sur les pr liminaires qui sont: Les espaces dont la topologie est d finie par une famille de semi normes; Les espaces des fonctions k fois contin ment d rivables sur un ouvert de Rn ( ); Les espaces D( ) de fonctions support compact dans; Formule de Leibniz et Formule de Taylor avec reste int gral. Le chapitre 3, porte sur les distributions qui sont: Les exemples de distributions; Ordre et support d'une distribution; Distributions support compact; Image d'une distribution par une application lin aire; Produit d'une distribution par une fonction; Division par x dans D'(R). Le chapitre 4, porte sur la d rivation des distributions qui sont: D rivation dans l'espace des distributions; distributions support es par l'origine; Solutions l mentaires d'op rateurs diff rentiels; Primitive d'une distribution; Structure locale des distributions. Le chapitre 5, sur la convergence des suites de distributions. Le chapitre 6, porte sur la convolution des distributions qui sont: La convolution des distributions et des fonctions; Les transformations de Fourier et de Laplace des distributions Le chapitre 7, porte sur les applications qui sont: Les espaces de Sobolev; Les op rateurs elliptiques; La solution fondamentale des op rateurs diff rentiels coefficients constants; Hypo ellipticit et hypo ellipticit analytique; Transformation de Fourier et Equations aux D riv es Partielles. Ce cours est enseign par l'auteur de 2002-2019, aux tudiants de Master des Sciences Physiques de l'Ecole Normale Sup rieure; D partement des sciences exactes. Ce cours s'adresse aux tudiants des masters des sciences exactes; Des Grandes Ecoles et aux Physiciens qui d sirent approfondir la Mod lisation. Gr ce une d marche p dagogique, il permet l' tudiant de s'entra ner progressivement et d'acqu rir des comp tences, quelque soit son niveau de d part. Chaque chapitre est divis en trois parties: - les l ments de cours pr sentant les r sultats essentiels conna tre; - les nonc's des travaux dirig's class's par th me; - les solutions d taill es de tous les travaux dirig's.